*좌표계*삼각비*내적-정사영

 

*좌표계

좌표계를 표현하는 방식으론

서로 직교하는 두 축과 두 축의 교첨인 원점으로 나타낸다.

가로축을 X축, 세로축을 Y축이라 칭하고 교점을 O라 표기한다.

이는 데카르트 좌표계로 "직교좌표계", "cartesian좌표계"라 칭하기도 한다.

 

임의 점 P를 표현하는 방법은 점P에서 수선의 발을 내렸을 때

X축과 직교하는 지점이 좌표x값

Y축과 직교하는 지점이 좌표y값 이다.

 

원점부터 임의 점 P까지의 위치를 구하는 방법으론 피타고라스의 정리를 이용할 수 있다.

x를 가로의 길이, y를 세로의 길이로 놓았을때 원점부터 점P까지의 거리는 빗변 a의 길이가 된다.

a^2 = x^2 + y^2

 

*삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 세 변중 두 변의 길이의 비율을 나타낸다.

두 변사이에 끼인각 θ에 대해

 

cosθ = 밑변 / 빗변 = c / a

sinθ = 높이 / 빗변 = b / a

tanθ = 높이 / 밑변 = b / a

 

cosθ를 예로 들어

cosθ = c / a 는 cosθ * a = c x 1로 표기 할 수 있다.

비례식으로 나타내면

a : c = 1 : cosθ 가 된다.

이는 a를 100%라 놓았을 때 c는 a에 대해 cosθ만큼의 비율을 가진다.

 

*내적

-각도

내적은 여러 기하학적 의미를 표현 할 수 있는데

그중 하나는 두 단위 방향벡터 사이의 각을 구할 때 쓰인다.

 

먼저 A, B 두 방향벡터가 있을때 내적 공식을 보면

A ο B = ||A|| * ||B|| * cosθ 이다.

 

두 선분 사이의 끼인각은 선분의 길이의 영향을 받지 않으므로

A, B의 단위벡터인 A＂, B＂을 내적하면

A＂ ο B＂ = 1 * 1 * cosθ

A＂ ο B＂ = cosθ 가 성립 된다.

 

위 식 양변에 역코사인을 취해주면

acos( A' ο B' ) = acos( cosθ )

acos( A' ο B' ) = θ

결론적으로 각도(radian)만 남게된다.

 

-정사영

또 하나는 두 방향벡터 A, B가 있을때 B벡터에 대한 A벡터의 정사영을 구할 수 있다.

공식을 다시 보면

A ο B = ||A|| * ||B|| * cosθ 이다.

이때 B벡터를 정규화 시킨 B＂ 과의 내적연산을 하면

A ο B＂ = ||A|| * 1 * cosθ 식이 나온다

이때 A ο B＂ 은 A벡터 머리에서 B벡터로 수선의 발을 내린 즉 정사영의 길이를 나타낸다.

B＂ 에 내적연산의 값을 곱해주게되면 수선의 발을 내려 B와 교차하는 지점의 좌표를 알 수 있다.

 

두 벡터 A, B

수선의 발 N

정사영 S

 

A = 파랑

B = 빨강

N = 하양

S = 검정