*좌표계*삼각비*내적-정사영
programming/etc 2024. 7. 26. 10:24 |
*좌표계
좌표계를 표현하는 방식으론
서로 직교하는 두 축과 두 축의 교첨인 원점으로 나타낸다.
가로축을 X축, 세로축을 Y축이라 칭하고 교점을 O라 표기한다.
이는 데카르트 좌표계로 "직교좌표계", "cartesian좌표계"라 칭하기도 한다.
임의 점 P를 표현하는 방법은 점P에서 수선의 발을 내렸을 때
X축과 직교하는 지점이 좌표x값
Y축과 직교하는 지점이 좌표y값 이다.
원점부터 임의 점 P까지의 위치를 구하는 방법으론 피타고라스의 정리를 이용할 수 있다.
x를 가로의 길이, y를 세로의 길이로 놓았을때 원점부터 점P까지의 거리는 빗변 a의 길이가 된다.
a^2 = x^2 + y^2
*삼각비
삼각비는 직각삼각형에서 세 변중 두 변의 길이의 비율을 나타낸다.
두 변사이에 끼인각 θ에 대해
cosθ = 밑변 / 빗변 = c / a
sinθ = 높이 / 빗변 = b / a
tanθ = 높이 / 밑변 = b / a
cosθ를 예로 들어
cosθ = c / a 는 cosθ * a = c x 1로 표기 할 수 있다.
비례식으로 나타내면
a : c = 1 : cosθ 가 된다.
이는 a를 100%라 놓았을 때 c는 a에 대해 cosθ만큼의 비율을 가진다.
*내적
-각도
내적은 여러 기하학적 의미를 표현 할 수 있는데
그중 하나는 두 단위 방향벡터 사이의 각을 구할 때 쓰인다.
먼저 A, B 두 방향벡터가 있을때 내적 공식을 보면
A ο B = ||A|| * ||B|| * cosθ 이다.
두 선분 사이의 끼인각은 선분의 길이의 영향을 받지 않으므로
A, B의 단위벡터인 A＂, B＂을 내적하면
A＂ ο B＂ = 1 * 1 * cosθ
A＂ ο B＂ = cosθ 가 성립 된다.
위 식 양변에 역코사인을 취해주면
acos( A' ο B' ) = acos( cosθ )
acos( A' ο B' ) = θ
결론적으로 각도(radian)만 남게된다.
-정사영
또 하나는 두 방향벡터 A, B가 있을때 B벡터에 대한 A벡터의 정사영을 구할 수 있다.
공식을 다시 보면
A ο B = ||A|| * ||B|| * cosθ 이다.
이때 B벡터를 정규화 시킨 B＂ 과의 내적연산을 하면
A ο B＂ = ||A|| * 1 * cosθ 식이 나온다
이때 A ο B＂ 은 A벡터 머리에서 B벡터로 수선의 발을 내린 즉 정사영의 길이를 나타낸다.
B＂ 에 내적연산의 값을 곱해주게되면 수선의 발을 내려 B와 교차하는 지점의 좌표를 알 수 있다.
두 벡터 A, B
수선의 발 N
정사영 S
A = 파랑
B = 빨강
N = 하양
S = 검정
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